ISTITUTO STATALE D’ARTE – POTENZA -  CORSO  DI  GEOMETRIA DESCRITTIVA

PROF. LUIGI ALBANO 

 

 

CURVATURA DELLA RETTA PROIETTIVA

 

 

Si osserva che, dopo aver "raggiunto" il punto improprio mediante la parallela per C alla r, se viene aumentato l'angolo w il punto P riappare sulla retta r dalla parte opposta a quella di partenza e si avvicina sempre più alla posizione iniziale con l'aumentare dell'angolo. Il verso di percorrenza non varia.

Viene in questo modo introdotto il concetto di continuità della retta proiettiva e conseguentemente il concetto di "curvatura" della retta proiettiva. A riguardo si può convenire che due punti

A e B della retta r (fig. a), allontanandosi progressivamente l'uno dall'altro, si incontrino all'infinito nel punto improprio della retta stessa e da ciò si deduce che la retta proiettiva è curva.

La retta proiettiva può anche essere considerata come una circonferenza di raggio infinitamente grande (fig. b), proposizione che concorda con l'invariabilità del verso di percorrenza di un punto P che scorre sulla retta.

Le caratteristiche della retta proiettiva sono diverse da quelle della retta euclidea per la seguente particolarità: la retta euclidea viene divisa da un punto P in due semirette e non è possibile passare dall'una all'altra senza attraversare P, mentre nella retta proiettiva è possibile.

- RETTA IMPROPRIA (sinonimo di retta all'infinito)-

La retta impropria di un piano è l'ente geometrico che unisce o contiene, gli infiniti punti impropri delle rette del piano.

 

 

PROPOSIZIONE RIGUARDANTE LA RETTA PROIETTIVA –

 Con riferimento al disegno sottostante, si consideri una retta r ed una circonferenza c esterna e complanare. Preso un punto C' sulla e si assume un fascio di rette di centro C' e si esamina la relazione che viene ad intercorrere tra i punti incontrati rispettivamente sulla retta e sulla circonferenza dalle rette del fascio.

La corrispondenza è "biunivoca"  poiché per ogni retta del fascio viene individuato un punto su r ed uno su c. Ad esempio per la retta p si hanno i punti P e P'.

Si vuole dimostrare che la corrispondenza è anche "senza eccezioni".

Poiché si ammette l'esistenza del punto improprio A∞ di r, si conduce per C' la retta che raggiunge tale punto improprio, cioè la parallela alla r e si verifica che essa determina su e il punto A', corrispondente del punto improprio A∞, ciò significa che la corrispondenza non ha eccezioni.


Invece, se non esistesse il punto improprio, alla parallela condotta da C alla r non corrisponderebbe alcun punto sulla retta r per cui si avrebbe una "eccezione".

Inoltre, se si considera la retta t tangente in O, si verifica che essa individua il punto C sulla r cui corrisponde C' sulla c.

Si nota ancora che se un punto della retta r si allontana da C verso destra, dopo aver raggiunto il punto improprio A∞ ritorna a C da sinistra mentre i punti corrispondenti della circonferenza la percorrono interamente seguendo lo stesso verso.

In base a tale corrispondenza biunivoca tra i punti di una circonferenza e quelli di una retta proiettiva, la circonferenza viene considerata "modello di retta proiettiva".