Albano Luigi



ISTITUTO STATALE D’ARTE – POTENZA CORSO DI GEOMETRIA DESCRITTIVA PROF. LUIGI ALBANO OMOLOGIA Si definisce Omologia il prodotto di una doppia prospettività. Alias l'immagine di un immagine. La situazione descritta può essere validamente verificata guardando la foto di un oggetto con la sua ombra. Questa osservazione permetterà di verificare che al variare del centro della proiezione (sole) cambia l'immagine ottenuta (ombra) e viceversa, pur restando immutata la corrispondenza biunivoca tra oggetto reale nello spazio e sua immagine bidimensionale.
Geometricamente questa operazione consiste dapprima nel far coincidere il piano al quale appartengono i punti dei quali si vuole determinare l'immagine con il piano del quadro, per procedere da questa situazione alla determinazione dell'immagine cercata. La prima delle due operazioni descritte si esegue proiettando sul quadro, da un centro di proiezione improprio ed imponendo che la direzione del raggio sia ortogonale al piano bisettore dell'angolo formato tra il piano di che trattasi ed il piano del quadro, tutti i punti del piano al quale appartengono quei punti dei quali vogliamo determinare l'immagine, ed il centro di proiezione .
	Consideriamo una retta r appartenente al piano geometrale gamma ed un centro di proiezione O posto a quota 0,65 rispetto alla quota zero di gamma( la proiezione ortogonale di O su gamma individua il punto Os che si definisce punto di stazione) . Dal momento che la retta r appartiene a gamma tutti i punti della retta r saranno punti del piano gamma.
	Introduciamo il piano gamma (in questo caso ortogonale a gamma) sul quale vogliamo determinare l'immagine della retta r della quale consideriamo tre punti a caso G, B, ed A. L'esistenza dei due piani considerati determina una retta d'intersezione che chiamiamo traccia del piano Gamma su P-greco e rappresenta l'asse dell'omologia. Proiettiamo il centro di proiezione (da ora in poi centro dell'omologia) ortogonalmente a Pgreco e fissiamo la posizione di Oo

	L'asse dell'Omologia gode della proprietà di essere il luogo geometrico di tutti i punti uniti (si definisce PUNTO UNITO il punto d'intersezione della retta oggettiva con il quadro e rappresenta l'unico punto della retta oggettiva che coincide con la propria immagine). Scopo della presente proiezione è quello di pervenire in maniera assolutamente scientifica alla determinazione dell'immagine della retta r (appartenente al piano Gamma) sul piano P-greco (Quadro). Questa operazione nello spazio può essere eseguita proiettando da O tutti i punti della retta r e fissando i punti d'intersezione delle rette proiettanti (raggi) con il quadro che rappresentano l'immagine cercata della retta. Dal punto di vista geometrico la determinazione dell'immagine si esegue individuando due punti certi dell'immagine della retta e precisamente la traccia della retta U' (punto unito) ed il suo punto limite ir (immagine del punto improprio della retta determinabile sapendo che esso è individuato dall'intersezione con il quadro della retta proiettiva parallela alla retta r e passante per O ). Sapendo che per due punti passa una ed una sola retta (V postulato di Euclide ), ne consegue che individuati due punti dell'immagine della retta allineandoli si ottiene l'immagine della retta.
	Facendo passare per il Centro dell'Omologia una retta proiettante parallela alla retta oggettiva, otterremo, nell'intersezione con il quadro il punto limite della retta. Ripetendo l'operazione per tutte le rette che appartengono al piano Gamma si otterrà che per il centro dell'omologia passerà un piano parallelo al piano Gamma che determinerà, nell'intersezione con il quadro una retta che si definisce retta limite ed è , per costruzione parallela alla traccia di Gamma sul Quadro. La retta limite, quindi, rappresenta il luogo geometrico di tutti i punti limite di tutte le rette appartenenti al piano Gamma. Conseguenza di quanto in precedenza e che: - quando bisogna determinare l'immagine di una retta, in assenza di altri elementi, è sempre possibile e sufficiente procedere alla determinazione della Traccia e della Retta limite del piano al quale appartiene la retta della quale vogliamo determinare l'immagine. La retta limite e la traccia di un piano sono sempre parallele tra loro.

	Preso atto che il nostro foglio da disegno coincide con il quadro dobbiamo fare in modo che l'operazione eseguita nel precedente procedimento spaziale possa essere eseguita con metodo scientifico direttamente sul quadro (foglio da disegno) senza alterazione del significato geometrico. Risulta evidente che gli unici elementi provenienti dall'operazione spaziale di cui in precedenza appartenenti al quadro sono: 1) l'asse dell'omologia 2) la traccia della retta r. La traccia della retta r rappresenta uno dei due punti necessari e sufficienti a metterci nella condizione di poter tracciare l'immagine cercata della retta. Resta quindi la necessità d'individuare il punto limite della retta. Sapendo che il punto limite di una retta si determina facendo passare per il centro dell'omologia una retta proiettiva parallela alla retta oggettiva ci si rende conto che il problema è risolvibile solo se si dispone sul Quadro (foglio da disegno) sia della retta oggettiva che del centro dell'omologia .
Al fine di poter trasferire su Quadro la retta oggettiva r ed il centro dell'omologia senza alterare i coefficienti angolari e le distanze tra i punti del piano al quale appartiene la retta ( piano GAmma) sarebbe necessario far ruotare rigidamente il piano Gamma intorno alla sua traccia fino a farlo coincidere con il Quadro (P-greco). Questa operazione di ribaltamento non è consentita in quanto nella geometria si eseguono operazioni di proiezioni e sezioni. Allo stesso risultato del ribaltamento si perviene però operando una proiezione di tutti i punti di Gamma sul Quadro da un centro improprio ( garantendoci il parallelismo dei raggi proiettanti) ed una direzione dei raggi proiettanti ortogonale al piano bisettore dell'angolo formato tra Gamma ed il Quadro.
	Questa proiezione corrisponde geometricamente all'operazione di ribaltamento di tutti i punti di Gamma sul Quadro portando i due piani a coincidere. L'operazione descritta è illustrata nei disegni che seguono. Con lo stesso centro di proiezione e direzione dei raggi si proietta il centro dell'Omologia O sul Quadro definendo la posizione di O* (posizione di O ribaltato sul Quadro)
	con la precedente operazione abbiamo sovrapposto il piano Gamma (e quindi tutti gli elementi che gli appartengono, retta r- punto G) al piano Quadro (P-greco) *e proiettato il centro dell'Omologia sul quadro stesso ottenendo rispettivamente r- G- ed O. Avendo a disposizione questi elementi sulquadro è possibile procedere alla determinazione dell'immagine della retta r.**
	A questo punto, per determinare l'immagine di r conoscendo la traccia (U') basta determinarne il punto Limite. Questa operazione è facilmente eseguibile facendo passsare per O* una parallela ad r* fino ad intersecare la retta limite del piano Gamma fissando in questo punto la posizione di ir. L'immagine della retta r dovendo contenere tra le immagini dei suoi punti anche il punto U' ed ir non potrà che passare che per essi. Allineando quindi U' ed ir otterrò l'immagine cercata r'. Ottenuta l'immagine di r' posso stabilire una corrispondenza biunivoca tra i punti di r* e quelli della sua immagine r' semplicemente allineando i punti di una di essa con il centro dell'omologia e determinando sull'altra i corrispondenza. Pertanto il corrispondente del punto A* dovrà essere allineato con O* ed appartenere ad r' ne consegue che la sua posizione sarà fissata nel punto d'intersezione tra il raggio che proietta A* e l'immagine della retta r'. Ripetendo l'operazione per il punto B* otterrò l'immagine del segmento AB appartenente alla retta r che coinciderà con quella che avrei ottenuta proiettando il segmento nello spazio.