ISTITUTO STATALE D’ARTE – POTENZA

 CORSO  DI  GEOMETRIA DESCRITTIVA

PROF. LUIGI ALBANO

 

 

OMOLOGIA

Al fine di poter determinare un'immagine utilizzando  il metodo dell'omologia bisogna innanzituttu verificare se l'omologia è determinata.

1) Un'omologia è determinata quando si conosce il Centro e l'asse dell'omologia ed una coppia di elementi corrispondenti.

Bisogna inoltre tener presente che

2) in Geometria Descrittiva le immagini si definiscono eseguendo esclusivamente operazioni di PROIEZIONI E SEZIONI .

3) due rette sono corrispondenti quando si tagliano lungo l'asse dell'omologia

4) due punti sono corrispondenti quando sono allineati con il centro dell'omologia

ogni immagine è costituita e definibile attraverso l'individuazione di alcuni punti fondamentali o con specifiche proprietà. L'immagine di un punto si determina attraverso l'intersezione di due rette.

5) la condizione necessaria e sufficiente affinché sia possibile individuare una retta (o la sua immagine) è che si conoscano due punti della retta. (V postulato di Euclide)

la soluzione di tutti i problemi inerenti la ricerca di immagini passa attraverso la verifica di quanto descritto nei precedenti cinque punti.

esercizio 1

Dato il centro, l'asse dell'omologia, due rette corrispondenti e l'immagine di un punto P' determinarne il corrispondente P*

 
INSERITI I DATI DATI DEL PROBLEMA VERIFICO SE L'OMOLOGIA E' DETERMINATA. ESSENDO NOTI IL CENTRO, L'ASSE ED UNA COPPIA DI ELEMENTI CORRISPONDENTI L'OMOLOGIA E' DETERMINATA ED AMMETTE UN'UNICA SOLUZIONE.

SULLA BASE DEI DATI NOTI POSSO SOLO AFFERMARE CHE IL CORRISPONDENTE DEL PUNTO P' SI TROVERA' LUNGO IL RAGGIO PROIETTANTE PASSANTE PER IL CENTRO DELL'OMOLOGIA O*

AL FINE DI UTILIZZARE PROFICUAMENTE LA COPPIA DI RETTE CORRISPONDENTI STABILISCO UNA RELAZIONE TRA IL PUNTO P' E LA RETTA r' INTRODUCENDO UNA RETTA f' CHE PASSA PER P' ED INTERSECA LA r' NEL PUNTO W'. IL PUNTO W' IN QUANTO PUNTO DI INTERSEZIONE APPARTIENE SIA ALLA RETTA r' CHE ALLA RETTA f' ALLA QUALE APPARTIENE ANCHE IL PUNTO P'. NE CONSEGUE CHE IL PUNTO CERCATO P* APPARTERRA' ALLA RETTA f* ALLA QUALE APPARTERRA' ANCHE IL PUNTO W*. IL PROBLEMA SI RISOLVE QUINDI DETERMINANDO LA RETTA f*. PER TRACCIARE LA RETTA f* MI OCCORRE CONOSCERE DUE PUNTI DI ESSA. DAL MOMENTO CHE UN PUNTO NOTO   è QUELLO DI INTERSEZIONE DELLA RETTA f' SULL'ASSE DELL'OMOLOGIA  Tf  (TRACCIA DELLA RETTA f O PUNTO UNITO ) L'ALTRO LO POSSO DETRMINARE CONSIDERANDO CHE IL PUNTO W' AVRA' IL CORRISPONDENTE W* SULLA RETTA r'.

 IL PUNTO W* E' FACILMENTE INDIVIDUABILE POICHE' MI BASTA PROIETTARE IL PUNTO W' DAL CENTRO DI PROIEZIONE E DETERMINARE L'INTERSEZIONE TRA QUESTO RAGGIO PROIETTANTE E LA RETTA r*. PUNTO NEL QUALE SARA' FISSATA LA POSIZIONE DI W* CHE RAPPRESENTA IL SECONDO PUNTO DAL QUALE PASSERA' IN MANIERA INEQUIVOCABILE LA RETTA f* CERCATA.

UTILIZZANDO I PUNTI Tf  E W* TRACCIO LA RETTA f* ALLA QUALE DEVE APPARTENERE ANCHE IL PUNTO P* IN QUANTO PUNTI CORRISPONDENTI APPARTENGONO A RETTE CORRISPONDENTI NE CONSEGUE CHE SE P' APPARTIENE A f', P* APPARTIENE AD f*.

P* PERTANTO DOVENDO ESSERE ALLINEATO CON P' ED IL CENTRO DELL'OMOLOGIE E DOVENDO APPARTENERE AD f* NON POTRA' CHE TROVARSI NEL PUNTO D'INTERSEZIONE TRA IL RAGGIO PROIETTANTE CHE ALLINEA P' AL CENTRO DELL'OMOLOGIA E LA RETTA f* APPENA TRACCIATA.